Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
Кафедра автоматизованих систем управління
Звіт
до лабораторної роботи № 6
з курсу «Чисельні методи в інформатиці»
на тему «Розв’язування задачі Коші
методом Рунге-Кутта»
Львів – 2011
Мета роботи: вивчити і засвоїти постановку та методи розв’язування задачі Коші. Навчитися досліджувати розв’язок , використовуючи метод Рунге-Кутта.
Короткі теоретичні відомості
Тільки невелика кількість задач Коші, iнтегровних у явному виглядi, зустрічаються серед задач, якi потрiбно розв’язувати. Тому для розв’язування задач Коші широко використовують чисельні методи з їх реалізацією на комп’ютерах. При цьому особливо важливими є вибір потрібного методу і його програмної реалізації, а також підготування всіх даних, необхідних для роботи комп’ютерної програми.
1.Формулювання задачi.
Нехай на вiдрiзку потрiбно знайти розв’язок диференцiйного рiвняння
(1)
який задовольняє таку умову
(2)
Задачу (1)-(2) називають задачею Кошi для звичайногодиференцiйного рівняння першого порядку.
Будемо припускати, що функцiя f(х,у) неперервна та задовольняє умову Лiпшиця за у, тобто виконується
(3)
де L– деяка додатна стала. В цьому випадку задача Кошi має єдиний розв’язок на промiжку
2. Метод Ейлера.
Розiб’ємо проміжок [а, b], на якому шукаємо розв’язок, на рiвномiрнi вiдрізки причому
Розрахункова формула методу Ейлера має вигляд
(4)
де .У випадку рівномiрного розбиття вiдрізка [а, b] точками отримасмо
3. Методи Рунге-Кутта.
На практиці для розв’язування задачi Коші найчастiше використовують методи Рунге-Кутта. Цими методами можна розв’язати задачу Кошi для звичайного диференцiйного рiвняння першого порядку, для диференцiйних рiвнянь вищих порядків, системи диференцiйних рiвнянь першого порядку.
Перевага методiв Рунге-Кутта полягає в тому, що обчислювальні алгоритми є однорiдними, тобто не змiнюються при переходi від однiєї точки до iншої, а крок змiнюється вiдповiдно до потреби точностi обчислень, без ускладнення обчислювального алгоритму.
Методи Рунге-Кутта мають високу точнiсть, причому обчислення можна проводити із змінним кроком: неважко эменшити крок там, де функцiя швидко змiнюється, i збiльшити в протилежному випадку.
Недоліком методів Рунге-Кутта є те, що для відшукання наближеного розв’язку в точцi заданого вiдрiзку необхiдно виконати декілька обчислень значень функцій.
Наведемо рекурентні формули методу Рунге-Кутта рiзних порядкiв точностi.
Формули методу Рунге-Кутта другого порядку:
4. Оцiнювання похибки наближеного розв’язку задачі Кошi.
Для методiв Ейлера та його модифiкацiй, а також методів Рунге-Кутта i Адамса застосовують апріорні оцiнки похибки наближеного розв’язку задачi Кошi (1)-(2) . Однак цi оцiнки здебiльшого значно завищені. Тому їхнє значення не стiльки практичне, скiльки теоретичне, бо з них безпосередньо випливає висновок про збiжність цих методiв. Крім того, апрiорнi оцiнки мiстять у собi ряд сталих, для вiдшукання яких часто треба виконувати досить складні обчислення.
Тому, щоб оцiнити похибку наближеного розв’язку задачi (1) - (2), намагаються використати iнформацiю, яку дiстають в процесі чисельного розрахунку (такі оцінки називають апостеріорними). Найефективнiшим оцінюванням є використання оцiнки з подвiйним перерахунком.
Розглянемо детальнiше метод подвiйного перерахункудля таких трьох випадків [2]:
1) задано крок iнтегрування h i треба визначити точні цифри наближеного розв’язку в кожнiй вузловiй точцi ;
2) задано точнiсть ε>0, з якою треба обчислити наближений розв’язок задачi, добираючи належним чином як сам метод, так i крок iнтегрування h;
3) оцiнити похибку – вiдповiдно наближений і точний розв’язок задачi в кожнiй вузловiй точцi .
Для цього розв’язок задачi (1)-(2) у кожнiй вузловiй точці обчислюють двiчі: з кроком h i h/2. Позначатимемо їх вiдповiдно .
Десятковi розряди наближень , які збiгаються мiж собою, вважають точними цифрами наближеного розв’язку в точцi .
Якщо наближений розв’...
